Диагональ прямоугольной трапеции делит острый угол пополам, а вторую диагональ в отношении 8:6. Найдите площадь трапеции, если ее высота равна 12см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть b1 и b2 - основания трапеции, h - ее высота, а d1 и d2 - диагонали.

Из условия видно, что d1 делит острый угол пополам. Так как острый угол равен половине суммы длин диагоналей, то d1 = (d1 + d2) / 2, откуда d1 = 2d2.

Также из условия известно, что d2 / d1 = 8 / 6, и, значит, d2 = 4d1.

Теперь можем написать высоту трапеции через диагонали: h = √(d1² - (b2 - b1)² / 4).

Подставим выражения d1 = 2d2 и d2 = 4d1, из последних двух уравнений следует, что d1 = 4, d2 = 8.

Получаем 12 = √(16 - (b2 - b1)² / 4). По условию h = 12 см, отсюда (b2 - b1)² = 32, b2 - b1 = 4√2.

Теперь знаем, что b2 - b1 = 4√2 и b2 + b1 = 4, откуда b1 = 2 - √2, b2 = 2 + √2.

Таким образом, площадь трапеции равна S = ((b1 + b2)·h) / 2 = (4√2·12) / 2 = 24√2 кв. см.