Радиус основания конуса равен R, угол между его образующей и плоскостью основания равен α. В конус вписан шар. Найдите объем шара.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим высоту конуса как h. Так как в конус вписан шар, то его центр лежит на образующей конуса и на одинаковом расстоянии от всех точек основания конуса. Таким образом, центр шара лежит на высоте h/3 от вершины конуса.

Также, обозначим радиус шара как r.

Так как высота конуса разбивает его на две подобные части, то отношение высоты к радиусу основания конуса равно отношению h/3 к R. То есть h/R = 3*(r/R), откуда h = 3r.

Теперь, применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, вершинами которого являются радиус основания конуса, радиус шара и гипотенуза этого треугольника (равна h). Получим r^2 + R^2 = (3r)^2, откуда R^2 = 8r^2.

Теперь можем найти объем шара по формуле V = (4/3) π r^3. Подставив R^2 = 8r^2, найдем V = (4/3) π (2r)^3 = (32/3) π r^3.

Итак, объем шара, вписанного в данный конус, равен (32/3) π r^3.