Найдите углы равнобедренного треугольника если его высота вдвое меньше биссектрисы угла при основании

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть углы треугольника равнобедренного треугольника равны $\alpha$, $\alpha$ и $2\beta$.

Так как высота, проведенная из вершины треугольника, делит основание на две равные части, то биссектриса угла при основании также делит угол $2\beta$ пополам. Из этого следует, что угол $2\beta$ равен $2\gamma$, где $\gamma$ - угол, образованный высотой и биссектрисой.

Таким образом, имеем: $2\beta = 2\gamma$, откуда $\beta = \gamma$.

Из свойств равнобедренного треугольника также следует, что $\alpha + 2\beta = 180^{\circ}$.

Заменим теперь угол $\alpha$ на углы $\gamma$ и $\beta$:

$\gamma + 2\beta = 180^{\circ}$,

$\gamma + 2\gamma = 180^{\circ}$,

$3\gamma = 180^{\circ}$,

$\gamma = 60^{\circ}$.

Так как $\beta = \gamma$, то $\beta = 60^{\circ}$.

Из уравнения $\alpha + 2\beta = 180^{\circ}$ находим:

$\alpha + 120^{\circ} = 180^{\circ}$,

$\alpha = 60^{\circ}$.

Таким образом, углы равнобедренного треугольника равны $60^{\circ}$, $60^{\circ}$ и $60^{\circ}$.