Радиусы двух окружностей равны 3см и 4см, а расстояние между центрами равен 5см. Имеют ли эти окружности общие точки?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того, чтобы определить, имеют ли данные окружности общие точки, необходимо воспользоваться теоремой косинусов.

Пусть ( a, b, c ) - стороны треугольника, ( \alpha, \beta, \gamma ) - соответствующие углы. Тогда квадрат расстояния между центрами ( c^2 ) равен сумме квадратов радиусов ( a^2, b^2 ), умноженной на ( 2ab \cdot \cos{\gamma} ):

[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos{\gamma} ]

В нашем случае ( a = 3см, b = 4см, c = 5см ). Подставим значения:

[ 5^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \cos{\gamma} ]
[ 25 = 9 + 16 - 24 \cdot \cos{\gamma} ]
[ 25 = 25 - 24 \cdot \cos{\gamma} ]
[ 0 = -24 \cdot \cos{\gamma} ]

Получаем, что ( 0 = -24 \cdot \cos{\gamma} ), следовательно, ( \gamma = 90^\circ ). Таким образом, у данного треугольника существует прямой угол, следовательно, данные окружности соприкасаются в одной точке.