Докажите что диагонали ромба 1.взаимно перпендикулярны 2.являются биссектрисами его углов

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства обоих утверждений рассмотрим ромб ABCD.

Пусть точка пересечения диагоналей ромба равна O. Так как ромб является параллелограммом, то диагонали равны между собой и точка O делит каждую из диагоналей пополам.

Предположим, что диагонали не перпендикулярны. Тогда рассмотрим треугольник AOB. Так как OA и OB - радиусы круга, с центром O и равными радиусами, они равны между собой, и угол AOB должен быть равным 90 градусов (так как в правильном треугольнике угол между радиусом к кругу и касательной к окружности составляет 90 градусов).

Аналогично, угол ABO также будет равен 90 градусов. Получаем, что треугольник AOB равносторонний, что противоречит тому, что O - точка пересечения диагоналей ромба.

Таким образом, диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Рассмотрим два треугольника AOB и COD. Так как OA = OB и OC = OD (диагонали ромба равны между собой), а также угол AOB = угол COD (все углы ромба равны между собой), треугольники AOB и COD равнобедренные.

Из равнобедренности треугольников следует, что угол OAB = угол OBA и угол ODC = угол OCD.

Таким образом, диагонали ромба ABCD являются биссектрисами его углов.

Таким образом, диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.