Из точки окружности проведены 2 взаимно перпендикулярные хорды длинной 5 см и 12 см.Найти расстояние между их концами.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи можно воспользоваться теоремой о перпендикуляре, проведенном из центра окружности к хорде.

Пусть O - центр окружности, AB и CD - перпендикулярные хорды длиной 5 см и 12 см соответственно. Проведем перпендикуляр OE к хорде AB в точке E и перпендикуляр OF к хорде CD в точке F. Так как OE и OF являются радиусами окружности, то они равны между собой и равны радиусу окружности.

Далее найдем расстояние между концами хорды AB. Пусть M и N - середины отрезков AB и CD соответственно. Тогда, так как OE радиус, то EM = OM = 2,5 см. Отсюда по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике OME найдем:
OM^2 = OE^2 - EM^2,
OM^2 = r^2 - (AB/2)^2,
r^2 = OM^2 + (AB/2)^2,
r^2 = (2,5)^2 + (5/2)^2,
r^2 = 6,25 + 6,25,
r^2 = 12,5.

Аналогично найдем радиус для хорды CD:
r^2 = (r/2)^2 + (12/2)^2,
12 = r^2/4 + 36,
r^2/4 = 24,
r^2 = 96.

Теперь найдем расстояние между концами хорд AB и CD. Проведем перпендикуляр от центра окружности O к отрезку MN. Так как MN - серединный перпендикуляр к хорде, то он равен половине разности длин хорд.
Так как ON - радиус, то по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике OMN получаем:
ON^2 = OM^2 - MN^2/4,
ON^2 = r^2 - (CD - AB)^2/4,
ON^2 = 96 - 49,
ON^2 = 47,
ON = √47.

Таким образом, расстояние между концами хород AB и CD равно √47 см.