Основание пирамиды ромб с острым углом альфа. высота пирамиды Н,а все двугранные углы при основании бета . докажите,что высота проходит через точку пересечения диагоналей и найдите площадь полной поверхности

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть E и F - точки пересечения диагоналей ромба ABCD, а точка H - точка пересечения высоты пирамиды и прямой EF.

Поскольку ABCD - ромб, то его диагонали перпендикулярны и пересекаются в точке пересечения диагоналей, то есть в точке H.

Так как основание пирамиды ABCD - ромб, то углы BAC, CAD, DAB и ABC равны между собой и обозначаются как бета.

Также из условия задачи известно, что основание пирамиды является ромбом с острым углом. Поэтому угол BAC равен альфа.

Так как углы при основании пирамиды равны бета, то угол AHF равен бета, так как основание параллельно плоскости ФЕН.

Также угол FAE равен альфа, так как это угол между основанием и боковой гранью пирамиды.

Из угла FAE равного альфа и угла FAH равного бета, следует что угол EAH равен 180 - альфа - бета. Но так как EAH - угол с общим основанием с углом EAC, то
UFF = 180 - "A" - "B".

Поскольку угол EAH равен 180 - альфа - бета, а гипотенуза AE ромба равна высоте пирамиды H, следовательно, треугольник AEH прямоугольный и
cot(180 - альфа - бета) = cot(бета) = AE / EH, где EH - высота пирамиды.

EH = AE · cot(бета).

Теперь найдем площадь полной поверхности пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания.

Боковая поверхность пирамиды состоит из четырех треугольников, из которых каждый равен полу-основанию умноженному на высоту, то есть:

Площадь боковой поверхности = 4 · (1/2) · АВ · Н.

Площадь основания - площадь ромба ABCD.

Площадь ромба ABCD = (1/2) · диагональ_1 · диагональ_2 = (1/2) · 2AF · 2AE = 2AF · AE.

Суммируем обе площади:

S = 4 · (1/2) · АВ · Н + 2AF · AE = 2AV(H + 2cot(betta)·{H}·AV)

S = Х · {H + 2·cot(betta)· H}.

Таким образом, высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей и площадь полной поверхности пирамиды равна X·(H + 2·cot(betta)·H).