В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке M , причём AM=2R и CM=3R. а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный. б) Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей, если известно, что R=2 .

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Поскольку AM=2R и CM=3R, то AC=5R. Так как окружность вписана в треугольник ABC, то BM тоже является радиусом этой окружности и равен R. Проведем высоту треугольника ABC из вершины B на сторону AC и обозначим точку пересечения высоты с AC как H. Так как треугольник ABC прямоугольный, то BH является его высотой и BC является гипотенузой. По теореме Пифагора имеем: AB^2 + BH^2 = AH^2 и BC^2 = AB^2 + AC^2. Так как BM=MC=R и AM=2R, то AM=2MC, следовательно, точка H делит сторону AC в отношении 2:3. Тогда AH=2/5AC=2/55R=2R, значит, прямоугольник ABH прямоугольный, а значит, треугольник ABC также прямоугольный.

б) Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей равно разности их радиусов, то есть 2R - R = R. Так как R=2, то расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей равно 2.