В прямоугольном треугольнике ABC угол B равен 15 градусов Из вершины прямого угла C проведены высота CH и медиана CM. Найдите отношения CH : AB и MH:BC

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала построим треугольник ABC:

Угол B = 15 градусов

Так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, то

Угол C = 90 градусов

Угол A = 180 - 15 - 90 = 75 градусов

Теперь найдем отношение CH : AB.

Так как треугольник CHA прямоугольный, то у него справдливо соотношение CH : CA = cos75 градусов.

Найдем cos75 градусов:

cos75 = cos(45 + 30) = cos45cos30 - sin45sin30 = (sqrt(2)/2 (sqrt(3)/2)) - (sqrt(2)/2 1/2) = sqrt(6)/4 - sqrt(2)/4 = (sqrt(6) - sqrt(2)) / 4

Таким образом, отношение CH : AB = (sqrt(6) - sqrt(2)) / 4

Теперь найдем отношение MH : BC.

В треугольнике CMB медиана CM делит сторону BC пополам, поэтому MH = MC.

Так как угол B равен 15 градусов, из угла BMD следует, что угол BCD = 30 градусов.

Таким образом, треугольник BCD равнобедренный, и у него BD = CD.

Тогда треугольники BMD и CMD равны по стороне MD и общему углу BDM.

Следовательно, MH : BC = MD : DC = 1:1

Ответ: CH : AB = (sqrt(6) - sqrt(2)) / 4, MH : BC = 1:1