P–центроид грани ABD тетраэдра DABC.Точка Q отмечена на ребре CD так,что DQ:QC=1:5,точка R отмечена на продолжении медианы AM грани ABC так,что AM:MR=9:1. Постойте сечение тетраэдра плоскостью PQR и найдите отношение, в котором она делит ребро AD.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем точки P, Q и R.

Поскольку P–центроид грани ABD, то P является серединой отрезка AB.

Так как DQ:QC=1:5, то точка Q делит отрезок CD на 1/6 и 5/6. Таким образом, DQ=1/6DC и QC=5/6DC. Так как P является серединой отрезка AB, то AP=1/2AB=1/2DC. Значит, DP=DC-AP=5/2DC-1/2DC=2*DC.

Теперь найдем точку R. Так как AM:MR=9:1, то точка R делит отрезок AM на 1/10 и 9/10. Таким образом, MR=1/10AM и AR=9/10AM. Так как P является серединой отрезка AB, то AP=1/2AB. Значит, AR=AM-AP=9/2AM-1/2AM=4AM.

Таким образом, мы нашли точки P, Q и R. Теперь построим плоскость PQR.

Сначала найдем векторы PQ, PR и PQR. Вектор PQ = Q - P = (1/6DC - 1/2DC)i + (5/6DC - 0)j + (0 - 0)k = -1/3DCi + 5/6DCj, вектор PR = R - P = (4AM - 1/2DC)i + 0j + 0k = 4AMi - 1/2*DCi, векторное произведение PQ и PR равно вектору нормали к плоскости PQR.

Найдем этот вектор: n = PQ x PR = (5/6DC)(4AM)i - (1/3DC)(4AM)i = (10/3DCAM)i.

Теперь записываем уравнение плоскости PQR в общем виде: 10/3DCAM(x - x0) = 0, где (x0, y0, z0) - координаты точки P, то есть (1/2*DC, 0, 0).

Так как плоскость проходит через точку A(0, 0, 0), подставляем координаты этой точки в уравнение плоскости: 10/3DCAM*0 = 0.

Таким образом, сечение тетраэдра плоскостью PQR параллельно плоскости A(0, 0, 0), B(1/2DC, 0, 0), C(1/6DC, 5/6*DC, 0) делит ребро AD в отношении 1:2.