Отрезок соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырехугольника равен полусумме двух других его сторон. Докажите что эти последние противоположные стороны параллельны

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим четырехугольник как ABCD, где AB и CD - диагонали. Пусть M и N - середины сторон AD и BC соответственно, а P и Q - середины диагоналей AB и CD соответственно.

Из условия задачи имеем, что MP = \frac{1}{2}(CD), NQ = \frac{1}{2}(AB).

Теперь рассмотрим треугольники MPN и CDQ. У этих треугольников параллельны стороны MN и CD (по определению середины), а также равны стороны MP и \frac{1}{2}(CD) = DQ. Из этого следует, что треугольник MPN подобен треугольнику CDQ (по признаку соотношения сторон в подобных треугольниках).

Аналогично, рассмотрим треугольники NPQ и ABP. У этих треугольников параллельны стороны PQ и AB (по определению середины), а также равны стороны NQ и \frac{1}{2}(AB) = BP. Из этого следует, что треугольник NPQ подобен треугольнику ABP.

Таким образом, у нас есть два подобных треугольника MPN и CDQ, а также NPQ и ABP. Из этого следует, что стороны CD и MN параллельны, а также стороны AB и PQ параллельны. Таким образом, диагонали ABCD параллельны друг другу.