В прямоугольном треугольнике вписана окружность. Точка касания лежащая на гепотенузе делит ее на отрезки 4 см и 6 см. Найдите S этого треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть катеты треугольника равны a и b, гипотенуза равна c.

Так как вписанная окружность касается гипотенузы, то мы можем применить свойство касательных: касательная, проведенная к точке касания, перпендикулярна радиусу этой окружности. Получаем два прямоугольных треугольника, один из которых подобен заданному треугольнику:

a^2 = r*4

b^2 = r*6

r = a^2 / 4 = b^2 / 6

Также из подобия треугольников получаем равенство отношений:

c/a = a/r

c/b = b/r

Отсюда:

a/c = 1/(2/ \sqrt a), b/c = 1/(2/ \sqrt b)

c^2 = 4a и c^2 = 6b, следовательно,

S = 0.5ab = 0.5c^20.25*0.5 = c^2/8 = 3

Ответ: S = 3.