В треугольнике ABC на его медиане ВМ отмечены точка К так,что ВК:КМ=6:7 прямая АК пересекает сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади треугольника ВКР к площади треугольника АВК

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим стороны треугольника ABC через a, b, c, а высоту проведем из вершины В на сторону AC. Пусть h - высота
Так как PR - медиана в треугольнике BPC, то BM = 2BP. Из условия задачи имеем, что BM = BK + KM = 6x + 7x = 13x, BP = PK + KM = 6x, MB = 13x, MP = 6x
Выразим стороны треугольников АВК и ВКР через x
a = 26x, b = x, c = 5x
Найдем высоту треугольника АВК от вершины А
Из того, что треугольник BKM подобен треугольнику ABC, получаем, что KM = (c/a)*h, или 7x = (1/5)h
Тогда h = 35x.

Высоты ce, ap и mk треугольников ACP, ABP и BKM, соответственно, пересекаются в одной точке
Подставим площади треугольников ABP и ACP, а также площадь треугольника BKM, выраженные через стороны треугольников и их высоты, в соотношение площадей треугольников при их одной общей высоте
(1/2)ah/(1/2)ch = (1/2)bh/(1/2)kh
Тогда a/c = b/k <=> 26 = x / 5x <=> k = 5
Получили стороны треугольников при их общей стороне ВК: КМ=13x и КР=5x.

Отношение площадей треугольников ВКР и АВК равно отношению произведений их сторон по общей высоте
S(ВКР)/S(АВК) = (1/2)KRBM / (1/2)AKBC = (1/2)5x13x / (1/2)x26x = 65/52.

Ответ: Отношение площади треугольника ВКР к площади треугольника АВК равно 65/52.