Площадь треугольника равна 84 см^2. Найдите радиус вписанной в этот треугольник окружности, если одна сторона треугольника меньше второй на 1 см, а третья больше второй на 1 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть стороны треугольника равны a, b и c (где a < b < c).

Так как одна сторона треугольника меньше второй на 1 см, то a = b - 1
Третья сторона больше второй на 1 см, то c = b + 1.

Площадь треугольника можно найти по формуле
S = √p(p-a)(p-b)(p-c)
где p - полупериметр треугольника, который равен (a + b + c)/2.

Так как S = 84, то есть
84 = √p(p-(b-1))(p-b)(p-(b+1)).

Подставим a = b - 1 и c = b + 1 в формулу площади
84 = √p(p-(b-1))(p-b)(p-(b+1))
84 = √p(p-b+1)(p-b)(p-b-1)
84 = √p((p^2)-(b^2)+(b)).

Далее, выразим p через b
p = (a+b+c)/2
p = (b-1 + b + b + 1)/2
p = (3b)/2.

Подставим p = 3b/2 в формулу площади треугольника
84 = √((3b/2)((3b/2)-b+1)((3b/2)-b)((3b/2)-b-1)
84 = √((3b/2)(b/2+1)(b/2)(b/2-1))
84 = √(9b/8 (b^2 /4 - 1/4))
84 = √((9b^2 b/32 - 9b/32))
84 = √(9b^3/32 - 9b/32).

Упростим
32√(9b^3/32 - 9b/32) = 84
√(9b^3 - 9b) = 84.

Возводим в квадрат
9b^3 - 9b = 84^2
9b^3 - 9b = 7056
b^3 - b = 784
b(b^2 - 1) = 784
b(b + 1)(b - 1) = 784.

784 = 1 2 392
784 = 2 4 196
784 = 2 4 14 * 14.

Таким образом, b = 14 см. Найдем a и c
a = b - 1 = 14 - 1 = 13 см
c = b + 1 = 14 + 1 = 15 см.

Найдем радиус вписанной окружности треугольника по формуле
r = S / p
где r - радиус вписанной окружности, S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника.

Подставим S = 84 и p = 3 * 14 / 2 = 21
r = 84 / 21 = 4 см.

Итак, радиус вписанной в треугольник окружности равен 4 см.