Обозначим стороны треугольника как a, b и c, где с – гипотенуза.
Точка касания окружности со стороной AB обозначена как F, со стороной AC – T, со стороной BC – K.
Так как окружность вписана в треугольник, то TF = TK = x, BF = TB = y, AK = AF = z.
Также из условия задачи известно, что AK + TB = 10. После подстановки заметим, что 2z = 10, т.е. z = 5.
Теперь рассмотрим подобный прямоугольный треугольник AFT. Тогда можно написать:
z/y = (c-x)/z
5/y = (c-x)/5
c - x = 5y
Также рассмотрим подобный прямоугольный треугольник CTK. Тогда можно написать:
z/x = (c-y)/z
5/x = (c-y)/5
c - y = 5x
Теперь сложим два уравнения, получим:
c = 5(x+y)
Также из подобия треугольников имеем:
c/y = 5/y
c/x = 5/x
Отсюда можно найти x и y:
5(x+y)/y = 5/y
5x + 5y = 5
x + y = 1
Теперь найдем с помощью системы уравнений x и y. x + y = 1, x = (1 - y)
5 - 5y + y = 1
-4y = -4
y = 1
Теперь найдем x = 0. Длина стороны AC = AF + CF = z + x = 5 см.
Ответ: длина гипотенузы треугольника равна 5 см.
Обозначим стороны треугольника как a, b и c, где с – гипотенуза.
Точка касания окружности со стороной AB обозначена как F, со стороной AC – T, со стороной BC – K.
Так как окружность вписана в треугольник, то TF = TK = x, BF = TB = y, AK = AF = z.
Также из условия задачи известно, что AK + TB = 10. После подстановки заметим, что 2z = 10, т.е. z = 5.
Теперь рассмотрим подобный прямоугольный треугольник AFT. Тогда можно написать:
z/y = (c-x)/z
5/y = (c-x)/5
c - x = 5y
Также рассмотрим подобный прямоугольный треугольник CTK. Тогда можно написать:
z/x = (c-y)/z
5/x = (c-y)/5
c - y = 5x
Теперь сложим два уравнения, получим:
c = 5(x+y)
Также из подобия треугольников имеем:
c/y = 5/y
c/x = 5/x
Отсюда можно найти x и y:
c = 5(x+y)
5(x+y)/y = 5/y
5x + 5y = 5
x + y = 1
Теперь найдем с помощью системы уравнений x и y. x + y = 1, x = (1 - y)
5 - 5y + y = 1
-4y = -4
y = 1
Теперь найдем x = 0. Длина стороны AC = AF + CF = z + x = 5 см.
Ответ: длина гипотенузы треугольника равна 5 см.