Центры двух пересекающихся окружностей расположены по одну сторону от их общей хорды. Хорда в одной окружности - сторона правильного вписанного треугольника, а в другой - сторона вписанного квадрата. Найти расстояние между центрами окружностей.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть $O_1$ и $O_2$ - центры окружностей, а $AB$ - общая хорда, где $A$ и $B$ - точки пересечения окружностей.

Так как $AB$ - сторона правильного вписанного треугольника, то угол $AO_1B = 60^\circ$
Поскольку $AB$ - сторона вписанного квадрата, то угол $AO_2B = 90^\circ$.

Таким образом, угол $O_1AO_2 = 30^\circ$.

Поделим треугольник $AO_1B$ на два равносторонних треугольника $AO_1D$ и $O_1BD$, где $D$ - центр вписанной окружности треугольника. Тогда угол $DO_1B = 30^\circ$, а $O_1O_2B = 30^\circ$
Так как $O_2D = O_1D$, то треугольник $O_1DO_2$ - равнобедренный, и $DO_1 = O_1O_2$.

Итак, расстояние между центрами окружностей равно длине отрезка $DO_1$.

Так как $D$ - центр вписанной окружности, а $O_1$ - центр окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника $O_1AB$, то $AD = AO_1 = R$, где $R$ - радиус описанной окружности
Тогда $DO_1 = AD \cdot \sin 30^\circ = R \cdot \frac{1}{2} = \frac{R}{2}$.

Следовательно, расстояние между центрами окружностей равно $\frac{R}{2}$.