Докажите, что прямая, проходящая через середину средней линии трапеции и пересекающая основания, делит эту трапецию на две равновеликие части

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного утверждения обозначим среднюю линию трапеции как AB, основания как CD и EF, а точку их пересечения как M.

Так как M - середина отрезка AB, то AM = MB
Поскольку отрезок MD является биссектрисой угла DMC, то соотношение длин отрезков MD и MC такое же, как соотношение длин отрезков AD и DC. То есть MD:MC = AD:DC
Также из того, что M лежит на прямой AB, следует, что отрезок CM является медианой треугольника CDE. Следовательно, DM = ME
Таким образом, треугольники ADM и CDM подобны по двум сторонам и общему углу. Из подобия треугольников следует, что площади этих треугольников равны.

Теперь рассмотрим треугольники CDM и CEM. Они равнобедренные, так как сторона CM равна стороне MC, сторона CD равна стороне CE и угол C равен углу C. Следовательно, треугольники CDM и CEM равновелики.

Таким образом, прямая, проходящая через середину средней линии трапеции и пересекающая основания, действительно делит эту трапецию на две равновеликие части.