В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки 20 см и 15 см. Найдите периметр этого треугольника. (Просьба решать без коэффициента пропорциональности (так как нам не сказано вначале, что треугольники подобны) и свойств биссектрисы, так как официально мы их ещё не проходили)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть катеты треугольника равны a и b, гипотенуза равна c. Тогда по теореме Пифагора имеем:

a^2 + b^2 = c^2

Так как биссектриса делит гипотенузу на отрезки 20 см и 15 см, то имеем:

a + b = 20
c - b = 15

Отсюда находим значения катетов и гипотенузы:

a = 20 - b
c = b + 15

Подставляем найденные значения катетов и гипотенузы в формулу Пифагора:

(20 - b)^2 + b^2 = (b + 15)^2
400 - 40b + b^2 + b^2 = b^2 + 30b + 225
2b^2 - 70b + 175 = 0
b^2 - 35b + 87.5 = 0

Дискриминант уравнения равен:

D = (-35)^2 - 4187.5 = 1225 - 350 = 875

Решая квадратное уравнение, найдем значение b = 35 - sqrt(350)/2 = 17.5

Тогда a = 20 - 17.5 = 2.5, c = 17.5 + 15 = 32.5

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон:

P = a + b + c = 2.5 + 17.5 + 32.5 = 52.5

Ответ: Периметр треугольника равен 52.5 см.