Около остроугольного треугольника ABC описана окружность с центром О. BH- высота. AB=5, BC=6, 15BH=16BO. Найдите площадь треугольника HAB

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Проведем медиану BM треугольника ABC, которая является радиусом описанной окружности. Поскольку треугольник ABC остроугольный, то точка O лежит внутри треугольника.

Так как 15BH=16BO, то BH=16/15BO=16/15R.

Поскольку AB=5 и BM=R, то AM=√(AB^2-BM^2)=√(5^2-R^2)=√(25-R^2).

Так как AM=√(25-R^2) и BM=R, то 15AH=AM, 15BH=16*BM.

Таким образом, AM=R/H, BM=R, HM=R-H, где H - высота треугольника.

Применим формулу для расчета площади треугольника через два вектора:

S=1/2ABH=1/2*|AM x BM|.

Тогда S=1/2|AM x BM|=1/2|AM||BM|sinφ=1/2RH*sin(ABM).

Таким образом, S=1/2RHsin(ABM)=1/2R(R-H)sin(ABM)=1/2(R^2-RH)sin(ABM).

Подставим AM=R/H, AM=R-H, |AB|=R, |BM|=R->

S=1/2(R^2-R^2+RH)sin(ABM)=1/2RHsin(ABM).

Перепишем sin(ABM) через AB, AB и BM:

sin(ABM)=|AM x BM|/(|AM|*|BM|)=|R^2-HR|/|R^2|=|R-H|/R.

Таким образом, S=1/2RH(R-H)/R=1/2H(R-H)=1/2(15BH)(16/15R-15BH)=1/216/15RH-1/2H^2=1/2RHO-1/2HO^2=1/2HO(R-HO)=1/2HOHO=1/215BH15BH=(15BH)^2=225=ц^2, где ц - длина стороны треугольника HAB.

Таким образом, S=225.