В треугольник АВС вписаны два равных прямоугольника PQRS и P1Q1R1S1 . Точки Р и P1 лежат на стороне АВ, точки Q и Q1 на стороне ВС, а точки R1, S1, R, S, на стороне АС. Найти площадь треугольника АВС, если PS = 9 и P1S1 = 3.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку PQRS и P1Q1R1S1 - равные прямоугольники, то их стороны равны, а значит, PQ = R1S1 = 3, PS = P1S1 = 9 и QR = Q1R1.

Так как PQRS и P1Q1R1S1 - равные, то и площади этих прямоугольников равны.

Площадь прямоугольника PQRS равна 3*9 = 27, а площадь прямоугольника P1Q1R1S1 также равна 27.

Так как P1Q = PS и P1S = PQ, то треугольник APS равнобедренный. Аналогично, треугольник ASQ также равнобедренный.

Найдем высоту равнобедренного треугольника APS. Пусть h - высота треугольника APS, тогда h^2 + 4,5^2 = 9^2, откуда h = 7,5.

Тогда площадь треугольника APS равна 0,5 9 7,5 = 33,75.

Так как треугольники APS и BQC подобны (и также равнобедренные), то площадь треугольника BQC равна 33,75.

Поскольку треугольники BQC и ABC - разные подобные треугольники, то катеты этих треугольников пропорциональны.

Пусть x - длина катета треугольника ABC. Тогда x / 7,5 = 4,5 / 3, откуда x = 10.

Таким образом, площадь треугольника ABC равна 0,5 10 9 = 45.

Ответ: площадь треугольника АВС равна 45.