Образующая конуса наклонена к плоскости его основания под углом 30°.Найдите объем конуса,если площадь большего сечения,проходящего через его вершину равна 72 см²

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть радиус большего сечения конуса равен R, тогда его площадь S1=πR^2.

Обозначим высоту конуса через h и радиус меньшего сечения через r. Так как образующая наклонена под углом 30°, то r=Rcos(30°)=Rsqrt(3)/2.

Площадь большего сечения равна S2=πr^2=π(R*sqrt(3)/2)^2=3πR^2/4.

Таким образом, S2=3/4S1=72 см². Отсюда находим S1=96 см².

Теперь по формуле объема конуса V=1/3 S1 h найдем объем конуса: V=1/3 96 см² h=32h см³.

Зная, что площадь боковой поверхности конуса равна πR*л, можем найти высоту h в прямоугольном треугольнике со сторонами R, h и л.

tg(30°)=R/h, R=htg(30°)=hsqrt(3)/3. По теореме Пифагора R^2+h^2=l^2, подставляем выражение для R: h^2(1/3)^2+h^2=l^2, 4h^2/9=h^2, h=3*R/2.

Теперь можем найти объем конуса: V=323R/2=48*R.

Зная, что S1=πR^2=96, находим R=sqrt(96/π).

Итак, V=48*sqrt(96/π)≈ 181,77 см³.