В треугольнике ABC на сторонах AB и BC соответственно выбраны точки M и N так, что AM=2MB и BN=NC . Отрезки AN и CM пересекаются в точке P. Найдите площадь четырехугольника MBNP , если известно, что площадь треугольника ABC составляет 30.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длину отрезка AC за x. Тогда длина отрезка AM равна 2x, длина отрезка MB равна x, длина отрезка BN равна x, а длина отрезка NC равна 2x.

Таким образом, площадь треугольника MBC равна (1/2)xx = x^2/2, а площадь треугольника ANC равна (1/2)2x2x = 2x^2.

Заметим, что площадь четырехугольника MBNP равна площади треугольника ABC минус площадь треугольников MBC и ANC:
S(MBNP) = S(ABC) - S(MBC) - S(ANC) = 30 - x^2/2 - 2x^2 = 30 - (5/2)*x^2.

Таким образом, площадь четырехугольника MBNP равна 30 - (5/2)*x^2. Осталось найти значение x. Заметим, что x + 2x + 2x = 5x равно длине стороны треугольника. Так как сторона треугольника равна sqrt(30), получаем: 5x = sqrt(30) => x = sqrt(30)/5 = sqrt(6)/5.

Теперь мы можем найти площадь четырехугольника MBNP:
S(MBNP) = 30 - (5/2)*(sqrt(6)/5)^2 = 30 - 6/2 = 30 - 3 = 27.

Итак, площадь четырехугольника MBNP равна 27.