Задача: В трапеции АВСD через вершуну С проведена прямая, параллельная боковой стороне АВ, до пересечения с большим основанием AD в точке Е. AD=10, DE=3, периметр ABCD равен 27. Найти ср. линию трапеции и периметр СDE

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку прямая CE параллельна стороне AB, то треугольник CDE подобен треугольнику CBA.

Из подобия треугольников CDE и CAB можно составить пропорцию для нахождения CE:

CD/CA = DE/AB

CD/(AB + BC) = DE/AB

CD/(AB + BC) = 3/AB

CD/(AB + 10) = 3/AB

CD = 3*(AB + 10)/AB

Из условия периметра трапеции ABCD:

AB + BC + CD + DA = 27

AB + BC + 3*(AB + 10)/AB + 10 = 27

AB^2 + BCAB + 3(AB + 10) + 10AB = 27*AB

AB^2 + BC*AB + 3AB + 30 + 10AB = 27AB

AB^2 + BC*AB + 13AB + 30 = 27AB

AB^2 + BC*AB - 14AB + 30 = 0

AB^2 - BC*AB + 30 = 0

(AB - 5)(AB - 6) = 0

AB = 5 или AB = 6

Если AB = 5, то CD = 3*(5 + 10)/5 = 9

Если AB = 6, то CD = 3*(6 + 10)/6 = 8

С учетом того, что искомая средняя линия трапеции равна (AB + CD)/2, найдем значение средней линии в каждом случае:

Для AB = 5: (5 + 9)/2 = 7

Для AB = 6: (6 + 8)/2 = 7

Таким образом, средняя линия трапеции равна 7.

Теперь найдем периметр треугольника CDE:

CE = CD = 9 (при AB = 5)

DE = 3

CD = 8 (при AB = 6)

Периметр треугольника CDE = CE + DE + CD:

При AB = 5: 9 + 3 + 9 = 21

При AB = 6: 8 + 3 + 8 = 19

Итак, периметр треугольника CDE равен 21 (при AB = 5) или 19 (при AB = 6).