Радиус основания конуса с вершиной P равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки A и B, делящиеокружность на две дуги, длины которых относятся как 1:3. Найдите площадьсечения конуса плоскостью ABP

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем высоту конуса, проходящую через точку P и опускаемую на основание конуса. По теореме Пифагора получаем:
( h = \sqrt{9^2 - 6^2} = \sqrt{81 - 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} )

Поскольку дуги окружности, образованные точками A и B, относятся как 1:3, то углы, заключенные между лучами PA и PB, также относятся как 1:3. Таким образом, мы можем построить прямые, проходящие через точки A и B и делающие с осью конуса углы 15° и 45° соответственно.

Теперь можем найти площадь сечения конуса плоскостью ABP. Это площадь, заключенная между хордой AB, дугой AB и образующей, и равняется площади сегмента круга минус площадь треугольника:

Площадь сегмента круга (S_{сегмента} = \frac{1}{2} r^2 \cdot (\theta - \sin{\theta})), где (r) - радиус основания конуса, а (\theta) - центральный угол, соответствующий дуге AB, т.е. 60°.

Площадь треугольника (S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot h \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{5} \cdot 6 = 9\sqrt{5}).

Подставим значения и найдем итоговую площадь сечения конуса:
(S = \frac{1}{2} \cdot 6^2 \cdot (60 - \sin{60}) - 9\sqrt{5} = 18\sqrt{3} - 9\sqrt{5}).