Периметр равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС) равен 144. Найдите длину основания АС, если cosBAC=3/5.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть длина основания АС равна x, тогда длина стороны AB и ВС также равна x.

Так как треугольник равнобедренный, то угол ВАС равен углу ВСА (пусть оба угла равны α), также известно, что угол ВАС равен 2α (сумма двух равных углов треугольника).

Таким образом, получаем уравнение для суммы углов в треугольнике АВС:
2α + α + θ = 180°
3α + θ = 180°
θ = 180° - 3α

Находим cos α:
cos α = 3/5

Так как в равнобедренном треугольнике угол ВАС равен 2α, то
cos 2α = cos (180° - 3α) = -cos 3α
cos 2α = 1 - 2sin^2 α
1 - 2sin^2 α = -3/5
2*sin^2 α = 8/5
sin^2 α = 4/5
sin α = √(4/5) = 2/√5

Используя тождество sin^2 α + cos^2 α = 1, находим sin α:
(2/√5)^2 + (3/5)^2 = 1
4/5 + 9/25 = 1
25/25 = 1

Теперь мы можем найти x, используя теорему косинусов в треугольнике АВС:
x^2 = x^2 + x^2 - 2xxcos 2α
144 = 2x^2 - 2x^2cos 2α
144 = 2x^2(1 + cos 2α)
144 = 2x^2(1 - 3/5)
144 = 2x^2/5
x^2 = 360
x = √360
x = 6√10

Таким образом, длина основания АС равна 6√10.