В равнобокую трапецию вписана окружность с радиусом 12 см. Одна из
боковых сторон точкой касания делится на два отрезка, больший из которых
равен 16 см. Найдите площадь трапеции.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть AB и CD - основания трапеции, а EF - точка касания окружности с основанием CD.
Обозначим радиус окружности как r = 12 см. Т.к. EF - одна из высот трапеции,
то AE = CF = 12 см, ED = 16 см и CD = 32 см(AD = BC).
Теперь рассмотрим треугольник AEF. Он является равнобедренным, так как две его стороны,
проведенные к радиусу, равны радиусу (AE=EF=12) см. Тогда угол EAF должен быть равен 45 градусам.
Поэтому треугольник AED также равнобедренный со стороной ED=16 см. Значит, AD=8√10.
Теперь рассмотрим треугольник ACD. Этот треугольник равнобедренный, так как стороны, касающиеся
окружности, равны ее радиусу (AC=12+12, CD=16 см). Тогда треугольник ACD также является равнобедренным
с AD=8√10. Значит, AB=32√10 см.
Теперь можно найти площадь трапеции по формуле: S = (AB + CD)h / 2 =
= (32√10 + 32) 12 / 2 = 192 (2√10 + 1) = 192 * 2.46 = 470,52 см^2.