Высота проведённая к основанию равнобедренного треугольника равна 9 см, а само основание равно 24 см. Найдите радиуса вписаной в треугольнике и описаной около треугольника окружностей.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть радиус вписанной окружности равен r, радиус описанной окружности равен R. Также обозначим через a высоту, проведенную к основанию треугольника, а через b половину основания
Из свойств равнобедренного треугольника, мы знаем, что b = 12 см.

Высота проведенная к основанию делит треугольник на два прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен исходному треугольнику. Тогда для каждого из таких треугольников верно:

[\frac{b}{r} = \frac{a - b}{r} = \frac{a}{R}]

[\frac{12}{r} = \frac{9}{r} = \frac{9}{R}]

Отсюда получаем систему уравнений:

(\begin{cases}12 = r\ 9 =\frac{9r}{12}\end{cases})

Решая эту систему, находим r = 12.

Теперь найдем радиус описанной окружности. Для этого воспользуемся формулой радиуса описанной окружности для равнобедренного треугольника:

[R = \frac{c}{2} \times \sqrt{1-\left(\frac{a}{c}\right)^2}]

Где c - гипотенуза треугольника, a - высота проведенная к основанию.

Используя теорему Пифагора:

[c = \sqrt{b^2 + a^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144+81} = \sqrt{225} = 15]

Теперь подставляем значения a = 9 и c = 15 в формулу и находим R:

[R = \frac{15}{2} \times \sqrt{1-\left(\frac{9}{15}\right)^2} = \frac{15}{2} \times \sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2} = \frac{15}{2} \times \sqrt{1-\frac{9}{25}} = \frac{15}{2} \times \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{15}{2} \times \frac{4}{5} = 6 \times 4 = 24]

Ответ: радиус вписанной окружности r = 12, радиус описанной окружности R = 24.