На дуге BC окружности, описанной около квадрата ABCD со стороной 1, выбрана точка М. Отрезки АМ и ВD пересекаются в точке P, а отрезки DM и AC в точке Q. Найдите площадь четырехугольника APQD

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что угол DMC является прямым, так как это угол между хордой и дугой, опирающейся на эту же хорду. Также угол MCB является прямым, так как это угол, вершина которого лежит на окружности, а сторона на хорде.

Таким образом, угол DMC равен углу B, а углы MCB и D являются смежными углами и равны углу C. Значит, треугольники DMC и CMB подобны.

Посмотрим на треугольники AMQ и CMA. Углы AMQ и CMA равны между собой (так как AM - диаметр окружности, а значит углы по середине равны), углы QAM и CAM являются вертикально противоположными и поэтому равны друг другу. Значит, треугольники AMQ и CMA также подобны.

Из подобия треугольников AMQ и CMA следует, что AM/CM = AQ/AC, или что AQ = AM*AC/CM.

Для нахождения площади четырехугольника APQD найдем площади треугольников AMQ и CMD, и вычтем площади треугольников CMA и ADQ.

Так как треугольники AMQ и CMA подобны, и AM/CM = 2, то AM = 2CM. Значит, S(AMQ) = 2S(CMA).

Площади треугольников CMD и CMA равны, так как это треугольники с общей стороной и общим углом.

Из подобия треугольников AMQ и CMA получаем, что AQ = 2*AC/CM.

Теперь выразим все площади через площадь треугольника ABC.

S(APQD) = S(AMQ) - S(CMD) - S(CMA) + S(ADQ) = 2S(CMA) - S(CMD) - S(CMA) + 0 = S(CMA) - S(CMD) = 1/2S(ABC) - 1/2S(ABC)/4 = 3/8S(ABC) = 3/8.