Докажите, что точки пересечения всех четырёх биссектрис параллелограмма являются вершинами прямоугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим биссектрисы параллелограмма как AD, BC, AB и CD. Пересечение биссектрис AD и BC обозначим как точку E, а пересечение биссектрис AB и CD обозначим как точку F.

Так как AD и BC это биссектрисы параллелограмма, то углы ADE и BCE равны, а углы AED и BEC равны. Также AD и BC параллельны и равны по длине, поэтому треугольник ADE равнобедренный, а треугольник BCE равнобедренный.

Аналогично, так как AB и CD это биссектрисы параллелограмма, углы AFB и CFD равны, а углы AFC и CFD равны. Треугольник AFB равнобедренный, а треугольник CFD равнобедренный.

Таким образом, получаем, что треугольники ADE, BCE, AFB и CFD являются равнобедренными.

Теперь рассмотрим прямоугольник EFDC. Угол FED равен по величине углу AED (так как это вертикальные углы), а угол EFD равен углу EBC (так как это вертикальные углы). Также стороны ED и FC равны по тому же свойству равнобедренных треугольников AED и BFC.

Из равности углов и равенства сторон следует, что прямоугольник EFDC является прямоугольником.

Аналогично можно показать, что прямоугольник EAFB также является прямоугольником.

Таким образом, точки пересечения всех четырех биссектрис параллелограмма являются вершинами прямоугольника.