Около окружности с центром в точке O описан квадрат ABCD. Касательная к окружности пересекает стороны AB и AD в точках M и N соответственно. а) Доказать, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата. б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке P . Найти, в каком отношении прямая PO делит сторону BC , если AB = 3AM.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Поскольку квадрат ABCD описан около окружности с центром O, то каждая сторона квадрата является касательной к окружности. Следовательно, угол AOB прямой. Также угол AMN прямой, так как MN касается окружности.

Теперь рассмотрим треугольник AMN. Угол MAN равен углу AOB, так как они оба опираются на дугу данной окружности. Таким образом, треугольник AMN подобен треугольнику AOB по углу и двум сторонам. Следовательно, сторона AM равна стороне AB, то есть периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.

б) Поскольку AB = 3AM, то AM = AB/3. Так как угол AMN прямой, то AMN будет также прямоугольным треугольником. Поэтому, с помощью теоремы Пифагора, мы можем выразить сторону MN через AM:

MN^2 = AM^2 + AN^
MN^2 = (AB/3)^2 + (AB - 2AM)^
MN = AB√(1 + (1 - 2/3)^2) = AB√(1 + 1/9) = AB√(10/9) = AB√10/3 = BC√10/3

Теперь, пусть прямая PO делит сторону BC в отношении k:1, то есть BC = BP + PC, где BP = k/(k+1)BC и PC = 1/(k+1)BC.

Тогда, из подобия прямоугольных треугольников BPC и BPO следует:

BP/PO = BC/P
k/(k+1) = BC/(1/(k+1)BC
k/(k+1) = 1/(k+1
k^2 + k =
k^2 + k - 1 = 0

Решая квадратное уравнение, получаем:

k = (-1 + √5)/2

Таким образом, прямая PO делит сторону BC в отношении ((-1 + √5)/2):1.