Правильный тетраэдр ABCD пересечен плоскостью,которая проходит через вершину A и середины ребер BD и CD.Найдите площадь полученного сечения,если длина ребра тетраэдра равна 2a.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Площадь полученного сечения можно найти следующим образом:

Обозначим середину ребра BD как E, а середину ребра CD как F. Таким образом, треугольник DEF - это сечение тетраэдра плоскостью.

Поскольку EF - это средняя линия треугольника BCD, то EF = 1/2 * BC = a.

Также заметим, что треугольник DEF подобен треугольнику BCD (по принципу сходственных треугольников), и их стороны соотносятся как 1:2.

Значит, площадь сечения DEF равна площади треугольника BCD умноженной на квадрат соотношения сторон
S(DEF) = S(BCD) (1/2)^2 = S(BCD) 1/4.

Площадь треугольника BCD можно найти, используя формулу Герона
S(BCD) = √[p(p-BC)(p-CD)(p-BD)]
где p - полупериметр треугольника BCD, который равен (BC + CD + BD)/2 = (2a + 2a + 2a)/2 = 3a.

Подставляя значение полупериметра в формулу, получаем
S(BCD) = √[3a(3a-2a)(3a-2a)(3a-2a)] = √(3a a a * a) = √(27a^4) = 3a^2√3.

Таким образом, площадь сечения DEF равна
S(DEF) = S(BCD) 1/4 = (3a^2√3) 1/4 = 3a^2√3 / 4.

Итак, площадь полученного сечения равна 3a^2√3 / 4.