Известно что в треугольнике ABC угол А =2 угла С, сторона BC на 2 см больше стороны AB, а AC=5. Найти AB и BC

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим угол А через α, угол С через β, сторону AB через х, сторону BC через у.

Из условия задачи имеем
α = 2
у = х +
AC = 5

Применим закон косинусов в треугольнике ABC
AC² = AB² + BC² - 2 AB BC * cos(α)

5² = x² + (x + 2)² - 2 x (x + 2) * cos(2β)

25 = x² + x² + 4x + 4 - 2x² - 4x * cos(2β)

25 = x² - 4x * cos(2β) + 4

Так как α = 2β, то cos(2β) = cos(α) = cos(180° - β
Из тождества косинуса суммы, имеем
cos(180° - β) = -cos(β)

Подставляем
25 = x² + 4x * cos(β) + 4

Так как в треугольнике сумма углов равна 180°, то α + β + С = 180°, ил
3β = 180
β = 60
α = 120°

Подставляем
25 = x² + 4x * cos(60°) +
25 = x² + 2x +
x² + 2x - 21 = 0

Решаем уравнение
x = ( -2 ± √(2² + 4121) ) /
x = ( -2 ± √(4 + 84) ) /
x = ( -2 ± √88 ) /
x = ( -2 ± 2√22 ) /
x₁ = -1 + √2
x₂ = -1 - √22

Так как сторона не может быть отрицательной, то AB = -1 - √22, а BC = 1 + √22.