Дан квадрат ABCD. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O и равны 11 см. BC – диагональ квадрата OBKC. Найдите площадь квадрата ОВКС.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Площадь квадрата OBKC равна площади треугольника BOC (так как это прямоугольный треугольник с гипотенузой BC).

Так как диагонали AC и BD пересекаются в точке O и равны 11 см, то треугольник AOB и треугольник COB равны по стороне и двум углам (по 90 градусов и острому углу между ними). Следовательно, ∠AOB = ∠COB и ∠OAB = ∠OCB. Так как у треугольников равны два угла, то они будут равны и третьему углу и, следовательно, будут подобны.

Значит, отношение сторон треугольника AOB к треугольнику COB будет равно отношению сторон квадрата OBKC к квадрату ОВКС, так как стороны квадрата соответствуют сторонам этих треугольников.

Обозначим сторону квадрата OBKC за x. Тогда сторона квадрата ОВКС будет 11 - x.

Таким образом, имеем:

( \frac{11}{x} = \frac{x}{11-x} )

11(11 - x) = x^2

121 - 11x = x^2

x^2 + 11x - 121 = 0

(x + 11)(x - 11) = 0

x = 11 (только положительное значение учитываем)

Площадь квадрата ОВКС:

11^2 = 121 см^2

Ответ: 121 см^2.