Окружность радиуса 6 вписана в равнобедренную трапецию. Точка касания окружности с боковой стороной трапеции делит эту сторону в отношении 1:4. Через центр окружности и вершину трапеции проведена прямая. Найдите площадь треугольника отсекаемого от этой трапеции данной прямой.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть A и B - вершины оснований трапеции, C и D - вершины основания, на котором лежит окружность, O - центр окружности, M - точка касания окружности с боковой стороной трапеции, N - точка пересечения прямой CO с основанием трапеции.

Так как треугольник AMO - прямоугольный, то по теореме Пифагора:

AM^2 + MO^2 = AO^2

Из условия задачи известно, что точка M делит сторону CD в отношении 1:4, следовательно:

CM = 4x, DM = x, CD = 5x

Так как CN = NO, то ON = 2x

Так как треугольник COB - прямоугольный, то по теореме Пифагора:

OC^2 + OB^2 = CB^2

6^2 + x^2 = 5x^2

36 + x^2 = 25x^2

24x^2 = 36

x^2 = 36/24 = 3/2

x = sqrt(3/2)

Так как мы знаем значения x, то можем легко найти все остальные стороны: CM = 4sqrt(3/2), DM = sqrt(3/2), CD = 5sqrt(3/2), ON = 2*sqrt(3/2)

Теперь найдем площадь треугольника COD:

S_COD = 0.5 CD ON = 0.5 5sqrt(3/2) 2sqrt(3/2) = 5/2 * 3/2 = 15/4

Ответ: площадь треугольника отсекаемого от трапеции данной прямой равна 15/4.