Прямая AM перпендикулярна к плоскости квадрата ABCD, диагонали которого пересекаются в точке O. Докажите что прямая BD перпендикулярна к плоскости AMO. MO перпендикулярна BD.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия задачи имеем, что прямая AM перпендикулярна к плоскости квадрата ABCD.

Заметим, что из условия задачи следует, что плоскость квадрата ABCD является плоскостью, содержащей прямую AM.

Так как AM перпендикулярна к плоскости ABCD, то AM также перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости ABCD. В частности, AM перпендикулярна к прямым АВ и CD.

Поскольку прямые AB и CD являются диагоналями квадрата ABCD, они пересекаются в точке O - центре квадрата. Таким образом, прямая AM содержит точку O.

Так как прямая AM перпендикулярна плоскости ABCD и содержит точку O, то можно заключить, что прямая BD перпендикулярна к плоскости AMO.

Теперь обратим внимание на треугольник MOB, где M - произвольная точка на прямой AM. Так как AM перпендикулярна к плоскости квадрата ABCD, а MO лежит в этой плоскости, то MO перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, MO перпендикулярна к прямой BD.

Таким образом, мы доказали, что прямая BD перпендикулярна к плоскости AMO и что MO перпендикулярна к BD.