Прямые АВ и СD, на которых лежат боковые стороны трапеции ABCD пересекаются в точке К. АВ=16, ВС:АD=5:9. найдите длину отрезка ВК и отношение площадей треугольника ВКС и трапеции АВСD.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия задачи можно составить пропорцию для отношения длин отрезков ВК и КD:

BK/KD = BV/VD

Так как ВС:АD=5:9, то ВС=5x, АD=9x. Также из пропорции видно, что BV=VK, VD=KD.

BV/KD = 16/9x, VK/KD = 16/9x

Заметим, что ВК+КD=16. Таким образом, VK=16-KD

16-KD/KD = 16/9x

Решив эту пропорцию, получаем: KD=6, VK=10

Теперь найдем отношение площадей треугольника VKC и трапеции ABCD. Площадь треугольника VKC можно найти, используя формулу:

S(VKC) = 0.5 VK KC * sin(угол К)

Из прямоугольного треугольника КBC можем найти длину КС, используя теорему Пифагора:

KC^2 = BC^2 - BK^2
KC = sqrt(16^2 - 6^2) = sqrt(196) = 14

Также, угол К равен сумме углов В и С, так как они дополнительные, то К = В + С.

Теперь можем найти синус угла К:

sin(K) = sin(B+C) = sin(B)cos(C) + cos(B)sin(C) = VK/KC = 10/14

Теперь можем найти площадь треугольника VKC:

S(VKC) = 0.5 10 14 * (10/14) = 50

Площадь трапеции ABCD равна:

S(ABCD) = 0.5 (AB + CD) h = 0.5 (16 + 9x) h

Таким образом, отношение площадей треугольника VKC и трапеции ABCD равно 50 / (0.5 (16 + 9x) h) = 100 / (16 + 9x).