На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD выбраны точки K и M так, что AK:KB = 1:2, BM:MC = 2:5. Отрезки AM и CK пересекаются в точке O. Найдите отношение площади четырёхугольника BKOM к площади четырёхугольника ABCD.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть длина отрезка AB равняется a, а длина отрезка BC равняется b. Тогда AK = a/3, KB = 2a/3, BM = 2b/7, MC = 5b/7.

Площадь параллелограмма ABCD равняется a*b.

Площадь треугольника AMO можно найти по формуле площади треугольника через стороны: S(AMO) = (1/2) AM OK sin(∠AMO). Аналогично, S(CKO) = (1/2) CK KO sin(∠CKO).

Так как треугольники AMO и CKO находятся в параллелограмме, то их площади равны.

Таким образом, S(AMO) = S(CKO) = (1/2) (AM OK + CK KO) sin(∠AMO) = (1/2) (AM OK + CK KO) sin(∠CKO).

Теперь рассмотрим треугольники AKO и BKO. Из подобия треугольников:

OK/CK = KO/OM = 3/7.

Подставив найденные значения для отрезков, получаем OK = 3b/10 и CK = 3a/10.

Итак, S(BKOM) = 2 S(AKO) = 2 S(BKO) = 2 (AM OK sin(∠AKO)) = 2 (AM OK sin(∠BKO)) = AM OK + BM KO.

Теперь можем найти отношение S(BKOM) к S(ABCD):

S(BKOM) / S(ABCD) = (AM OK + BM KO) / (a*b)

S(BKOM) / S(ABCD) = ((a/3) (3b/10) + (2b/7) (3a/10)) / (a*b) = (ab/10 + 2ab/35) / ab = (7/70 + 4/35) = 9/70.

Итак, отношение площади четырёхугольника BKOM к площади четырёхугольника ABCD равняется 9:70.