В треугольнике ABC известно, что AB=15, BC=14, AC=13, а медиана AA 1 пересекает биссектрису BB1 в точке P найдите площадь A1PB1C

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем площадь треугольника ABC. Для этого воспользуемся формулой Герона:

s = (AB + BC + AC) / 2 = (15 + 14 + 13) / 2 = 21.

Теперь можем найти площади треугольников ABP и ACP. Для этого воспользуемся формулой:

S(ABP) = (AB AP sin B) / 2 = (15 AP sin B) / 2,

S(ACP) = (AC AP sin C) / 2 = (13 AP sin C) / 2.

Так как углы B и C равны, то sin B = sin C, и площади треугольников ABP и ACP будут равны.

S(ABP) = S(ACP).

Также в треугольнике ABP и треугольнике ACP медиана делит биссектрису в отношении 2:1, а значит AP = 2 PP1 и PC = 2 PB1.

Таким образом площадь треугольника ABP равна площади треугольника ACP и, значит, площадь треугольника ABP2 равна площади треугольника ACP2.

Теперь можем найти площадь треугольника ABC:

S(ABC) = S(ABP) + S(APB1) + S(ACP) + S(CPB1),

S(ABC) = 2 S(ABP) + 2 S(APB1).

Так как площади треугольников ABP и AC1P одинаковы, то и площади треугольников APB1 и APC1 одинаковы, то и площадь треугольника ABC равна площади ABC1P получаемую объединением ABP и APB1

S(ABC1P) = 4 * S(ABP)

S(ABC1P) = 2 AB BP1 = 30

учтем что ABC равнобедренный и с учетом того что 90 градусов + 90 градусов = 180 градусов :

получим что ABC прямоугольный , медиана АА1 соответсвенно равновелика и равносторонний треугольник на ней, и площад пятиугольника A1PB1C= 4 * S(ABP) = 30

Ответ: 30.