Определить расстояние от точки д (225,10,20) до плоскости треугольника а (20,90,85) в (180,70,105) с (60,15,10)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для определения расстояния от точки до плоскости нам необходимо найти точку на плоскости, к которой это расстояние будет наименьшим.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки A(20,90,85), B(180,70,105) и C(60,15,10). Для этого воспользуемся методом нахождения векторного произведения:

Вектор AB = B - A = (180-20, 70-90, 105-85) = (160, -20, 20
Вектор AC = C - A = (60-20, 15-90, 10-85) = (40, -75, -75)

Найдем векторное произведение
n = AB x AC = (2020 - (-20)(-75), 20(-75) - 160(-75), 160(-75) - 40(-20)) = (400-1500, -1500+1200, -12000+800) = (-1100, -300, -11200)

Уравнение плоскости имеет вид: -1100(x-20) - 300(y-90) - 11200(z-85) =
-1100x + 22000 + 300y - 2700 - 11200z + 952000 =
-1100x + 300y - 11200z - 101800 = 0

Найдем уравнение прямой, проходящей через точки A и D(225,10,20)
Вектор AD = D - A = (225-20, 10-90, 20-85) = (205, -80, -65)

Уравнение прямой AD имеет вид
x = 20 + 205
y = 90 - 80
z = 85 - 65t

Теперь найдем точку пересечения прямой и плоскости. Подставим уравнения прямой в уравнение плоскости и найдем t
-1100(20 + 205t) + 300(90 - 80t) - 11200(85 - 65t) - 101800 =
-22000 - 1100205t + 27000 - 240t - 952000 + 728000 + 1120065t - 101800 =
-231200 - 224500t + 672000 + 728000 - 11200*65t - 101800 =
-184800 + 180300t = 0

180300t = 18480
t = 1.024

Подставим найденное значение t обратно в уравнение прямой, чтобы найти точку пересечения
x = 20 + 2051.024 = 20 + 209.2 = 229.
y = 90 - 801.024 = 90 - 81.92 = 8.0
z = 85 - 65*1.024 = 85 - 66.4 = 18.6

Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты (229.2, 8.08, 18.6).

Найдем расстояние между точкой D(225,10,20) и найденной точкой (229.2, 8.08, 18.6) по формуле расстояния между двумя точками в пространстве
√((229.2-225)^2 + (8.08-10)^2 + (18.6-20)^2) = √(16.64 + 4.1664 + 2.56) = √23.3664 ≈ 4.833

Таким образом, расстояние от точки D(225,10,20) до плоскости треугольника ABC равно примерно 4.833.