На стороне AD параллелограмма ABCD отмечена точка K так, что AK=4см, KD=5см, BK=12см. Диагональ BD равна 13 см. а) Докажите, что треугольник BKD прямоугольный. б) Найдите площадь треугольника ABK и параллелограмма ABCD.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Поскольку AK+KD = 4+5 = 9, то треугольник AKD не может быть прямоугольным, так как в нем гипотенуза меньше суммы катетов. Следовательно, треугольник BKD прямоугольный.

б) Рассмотрим треугольник ABK. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике BKD получаем: BD^2 = BK^2 + KD^2, BD^2 = 144 + 25, BD = 13
Теперь найдем высоту треугольника ABK из вершины A на BD. Пусть H - точка пересечения высоты и BD. Тогда BH = KD = 5 см.

Площадь треугольника ABK равна S = 0.5 AB HK, где AB - основание, HK - высота. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABH: AB = √(AH^2 + BH^2) = √(4^2 + 5^2) = √41 см
Площадь треугольника ABK: S = 0.5 √41 5 = 5√41 см^2.

Теперь найдем площадь параллелограмма ABCD. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Так как высота равна BD, а основание AB, получаем S = AB BD = √41 13 = 13√41 см^2.

Итак, площадь треугольника ABK равна 5√41 см^2, а площадь параллелограмма ABCD равна 13√41 см^2.