Объем конуса равен 32. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Найти объем, отсекаемого от данного конуса плоскостью.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи нам нужно найти объем усеченного конуса.

Обозначим радиус основания и высоту исходного конуса через (r) и (h) соответственно. Также обозначим высоту усеченного конуса через (h').

Из геометрии известно, что при параллельном пересечении конуса и усеченного конуса высоты образуют подобные треугольники. Таким образом, мы можем записать пропорцию между высотами конуса и усеченного конуса:

[\frac{h'}{h} = \frac{r'}{r},]

где (r') - радиус основания усеченного конуса.

Также известно, что объем конуса высчитывается по формуле:

[V = \frac{1}{3}\pi r^2 h,]

а объем усеченного конуса высчитывается по формуле:

[V' = \frac{1}{3}\pi (r^2 + r \cdot r' + r'^2)h'.]

Для нахождения объема усеченного конуса нам необходимо найти (r') и (h').

Из геометрической задачи понятно, что (h' = \frac{h}{2}), так как плоскость проходит через середину высоты конуса.

Теперь можем найти (r'), подставив соответсвующие значения в пропорцию:

[\frac{h/2}{h} = \frac{r'}{r}.]

Отсюда получаем, что (r' = \frac{r}{2}).

Подставим найденные значения (h') и (r') в формулу для объема усеченного конуса:

[V' = \frac{1}{3}\pi (r^2 + r \cdot \frac{r}{2} + (\frac{r}{2})^2) \frac{h}{2}.]

Упростим формулу:

[V' = \frac{1}{3}\pi(\frac{3}{4}r^2) \cdot \frac{1}{2} h.]

Так как объем усеченного конуса равен 32, то:

[32 = \frac{1}{3}\pi(\frac{3}{4}r^2) \cdot \frac{1}{2} h.]

Из данного уравнения можно найти уточненные размеры усеченного конуса.