SABCD-правильная треугольная пирамида, O1-центр описанного шара,DS=DB. Докажите что угол альфа равен 120

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства угла α равного 120 градусов, рассмотрим вершину S пирамиды ABCD и проведем линии от вершины S к серединам ребер пирамиды:

Пусть точки O1, M и N будут центрами описанных окружностей треугольников SAB, SBC и SCD соответственно.

Поскольку треугольник SAB равнобедренный (DS = DB), то линия SN является медианой в треугольнике SAB, и она проходит через вершину S и середину стороны AB, поэтому SN является высотой в треугольнике SAB и перпендикулярна к AB.

Аналогично, линия SM является медианой в треугольнике SBC и высотой в нем, а линия SO1 - медианой в треугольнике SCD и высотой в нем.

Так как SM, SN и SO1 являются высотами треугольников SBC, SAB и SDC, то они пересекаются в общей точке O1 - вершине пирамиды ABCD.

Получаем, что точка O1 является точкой пересечения высот треугольников, что означает, что O1 - центр описанного шара вокруг пирамиды ABCD.

Так как углы при вершине треугольника равны, имеем, что углы между высотами треугольников SBC, SAB и SDC равны между собой и равны углу между MN и SO1.

Учитывая равенство угла между SM и SO1 (соответственно равно углу между SM и SN), получаем, что угол α равен 120 градусов.

Таким образом, доказано, что угол α равен 120 градусов.