Докажите что высота опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника , делит треугольник на два подобных треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть ABC - прямоугольный треугольник, причем AD - высота, опущенная на гипотенузу BC. Требуется доказать, что треугольники ABD и ACD подобны.

Так как ABC - прямоугольный треугольник, то по теореме Пифагора имеем:
AB^2 + BC^2 = AC^2,
или
AB^2 = AC^2 - BC^2.

Так как AD - высота, то прямоугольные треугольники ABD и ACD подобны, если выполнено соотношение между соответствующими сторонами:
AB/AC = BD/DC.

Имеем:
BD = AD - AB,
DC = AD - AC.

Видим, что AB = AC - AD,
тогда
BD = AD - AC + AD = 2*AD - AC,
DC = AD - AC + AC = AD.

Тогда
BD/DC = (2*AD - AC)/AD = 2 - AC/AD = 2 - (AC/AD)/(AD/AD) = 2 - (AC/AD)/(AC/AB),
BD/DC = 2 - AB/AD.

Таким образом,
BD/DC = 2 - AC/AD = 2 - AB/AD = 2 - AB/(AC - AB) = 2 - AB/(BC) = 2 - AB/BC.

Подставим значение AB:
BD/DC = 2 - (AC - AD)/(BC) = 2 - AC/BC + AD/BC.

Но AC/BC = sinА,
AD/BC = cosA.

Тогда
BD/DC = 2 - sin𝛽 + cosβ = 2 - sinB + cosB = 2 -sin(90° -𝛽 + cos(90° -𝛽) = 2 - sin(90° - β) + cos(90° - β) = 2 - sin𝛼 + cosα = 2 - AB/BC.

Таким образом, треугольники ABD и ACD подобны.