Из точки к плоскости проведены 2 наклонные, длинны которых относятся как 5:6. Найдите расстояние от точки до плоскости, если соответствующие проекции наклонных равны 4 и 3*3^(1/2) (3 умножить на корень из 3х)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем угол наклона наклонных к плоскости. Обозначим угол между ними через α. Так как соотношение длин наклонных равно 5:6, то можно записать соотношение тангенсов углов наклона к плоскости (Tg(α₁)=5/6). Эти углы будут комплементарны углам наклона наклонных к плоскости. Так как проекциями этих отрезков на плоскость являются прямоугольные треугольники с катетами 4 и 3√3, то длины наклонных можно выразить через тангенс углов между ними и плоскостью по теореме тангенсов:
h₁ = 4 √(tg(α)⁻²+1),
h₂ = 3√3 √(tg(α)⁻²+1).

Из свойства сходящихся прямых следует, что так как точка принадлежит обеим наклонным, она принадлежит и прямой, проходящей через контактные точки с плоскостью. Значит, угол между наклонными и плоскостью тоже равен α.

Расстояние от плоскости до точки равно h₀ = h₂ √(tg(α)² + 1). С учетом изученных преобразований, находим
h₀ = (3√3 √(tg(α)⁻²+1)) √(5/6) = 3√5.

Таким образом, расстояние от точки до плоскости равно 3 * √5.