В равнобедренном треугольнике центр описанной окружности делит высоту треугольника в отношении 12:5. Найдите площадь этого треугольника, если длина боковой стороны равна 60
Пусть высота треугольника равна h, а основание равно 60 (половина боковой стороны).
Так как центр описанной окружности делит высоту треугольника в отношении 12:5, то сегмент высоты, отсекаемый центром окружности, равен 12h / 17 и 5h / 17.
Поскольку треугольник равнобедренный, центр описанной окружности также является вершиной перпендикуляра, опущенного из вершины до основания треугольника. Поэтому сегментов высоты два.
Тогда можем составить уравнения:
12h / 17 = h - x
5h / 17 = x
где x - отрезок, равный половине основания треугольника, что равно 30.
Из этих уравнений находим, что h = 255 / 8.
Высоту треугольника и сторону можно найти по теореме Пифагора и равнобедренности треугольника:
Пусть высота треугольника равна h, а основание равно 60 (половина боковой стороны).
Так как центр описанной окружности делит высоту треугольника в отношении 12:5, то сегмент высоты, отсекаемый центром окружности, равен 12h / 17 и 5h / 17.
Поскольку треугольник равнобедренный, центр описанной окружности также является вершиной перпендикуляра, опущенного из вершины до основания треугольника. Поэтому сегментов высоты два.
Тогда можем составить уравнения:
12h / 17 = h - x
5h / 17 = x
где x - отрезок, равный половине основания треугольника, что равно 30.
Из этих уравнений находим, что h = 255 / 8.
Высоту треугольника и сторону можно найти по теореме Пифагора и равнобедренности треугольника:
a = sqrt(h^2 + (60 / 2)^2) = sqrt((255 / 8)^2 + 30^2) = sqrt(42025 / 16) = 65
Площадь равнобедренного треугольника равна S = 1/2 a h = 1/2 65 255 / 8 = 2550.
Итак, площадь этого треугольника равна 2550.