ABCD- прямоугольник. AD=1/2AB. Точка е лежит на CD и DE=1/4 DC. Доказать при помощи векторов, что BD перпендикулярно AE.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим векторы $\overrightarrow {AB}=\vec {a}$, $\overrightarrow {AD} = \vec {b}$ и $\overrightarrow {AE}=\vec{c}$.

Так как $AD=\frac{1}{2}AB$, то $\vec{b}=\frac{1}{2}\vec{a}$.

Также из условия $DE=\frac{1}{4}DC$, получаем $\vec {d}=\frac{1}{4}\vec{e}$.

Теперь найдем вектор $\vec {d}$. Так как $DC=AC-AD$, то $\vec {d}=\vec {c}-\vec {b}$.

Подставляем значения $\vec {b}=\frac{1}{2}\vec {a}$ и $\vec {d}=\frac{1}{4}\vec{d}$ в предыдущее выражение:

$\vec{d}=\vec{c}-\frac{1}{2}\vec {a}$

Теперь перепишем условие перпендикулярности векторов:

$\vec{BD} \perp \vec{AE}$ означает, что $\vec{BD} \cdot \vec{AE}=0$.

Вектор $\vec {d}$ равен сумме двух векторов $\vec {b}$ и $\vec {c}$:

$\vec {d}=\vec {c}-\frac{1}{2}\vec {a}=\vec {b}+\vec {c}$

Далее:

$\vec {BD} \cdot \vec {AE}=(\vec {b}+\vec {c}) \cdot \vec {c} = \vec {b} \cdot \vec {c} + \vec {c} \cdot \vec {c}$

Так как $\vec {b} \cdot \vec {c}=0$ (перемножение векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}$ равно 0, так как они перпендикулярны), то:

$\vec {BD} \cdot \vec {AE} = 0+|\vec {c}|^2=|\vec {c}|^2\geq0$

Получили, что $\vec{BD} \cdot \vec{AE}\geq 0$, что означает, что угол между векторами $\vec{BD}$ и $\vec{AE}$ равен 90 градусам. То есть векторы $\vec{BD}$ и $\vec{AE}$ перпендикулярны.