В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С AB=20 см, AC=16 см, AK - биссектриса. Найти ВК и СК

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала определим длину стороны BC по теореме Пифагора:

BC^2 = AB^2 + AC^
BC^2 = 20^2 + 16^
BC^2 = 400 + 25
BC^2 = 65
BC = sqrt(656
BC = 25.6 см

Теперь найдем площадь треугольника ABC по формуле Герона, где p - полупериметр треугольника:

p = (AB + BC + AC) /
p = (20 + 25.6 + 16) /
p = 30.8

S = sqrt(p (p - AB) (p - BC) (p - AC)
S = sqrt(30.8 (30.8 - 20) (30.8 - 25.6) (30.8 - 16)
S = sqrt(30.8 10.8 5.2 * 14.8
S ≈ 143.6

Теперь посчитаем площадь треугольника AKB, где K - точка пересечения биссектрисы и гипотенузы:

S(ABK) = (AB AK sin(∠KAB)) /
H = AK * sin(∠KAB)

H = (2 S(ABK)) / AB = (2 143.6) / 20 = 28.72

Используем теорему синусов в треугольнике ABK:

AK / sin(∠KAB) = AB / sin(∠KBA
AK / sin(∠KAB) = 20 / sin(∠KBA
AK / H = 20 / sqrt(20^2 + 28.72^2
AK / H = 20 / 35.
AK = 20 * 28.72 / 35.
AK ≈ 16.4

Теперь можем найти длины СK и ВК, используя теорему Пифагора:

ВK = sqrt(AK^2 - AB^2) = sqrt(16.4^2 - 20^2) ≈ 11.8

СK = sqrt(AK^2 - AC^2) = sqrt(16.4^2 - 16^2) ≈ 5.7

Итак, ВК ≈ 11.8 см, СК ≈ 5.7 см.