В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5см и 12см. Найти катеты треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника, а r - радиус вписанной окружности.
Так как точка касания окружности делит гипотенузу на отрезки 5см и 12см, то сумма отрезков равна длине гипотенузы:
5 + 12 = a + b,
17 = a + b. (1)

Также известно, что радиус вписанной окружности равен полупериметру треугольника, деленному на сумму катетов:
r = (a + b - c)/2, где c - гипотенуза.

Подставим выражение (1) в это равенство:
r = (17 - c)/2.

Так как r = c/2, то c/2 = (17 - c)/2,
c = 17 - c,
2c = 17,
c = 8.5.

Теперь найдем катеты треугольника, используя формулу Пифагора:
a^2 + b^2 = c^2,
a^2 + b^2 = 8.5^2,
a^2 + b^2 = 72.25.

Также известно, что сумма отрезков катетов равна 17:
a + b = 17,
a = 17 - b.

Подставим последнее выражение в уравнение Пифагора:
(17 - b)^2 + b^2 = 72.25,
289 - 34b + b^2 + b^2 = 72.25,
2b^2 - 34b + 216.75 = 0.

Решая квадратное уравнение, найдем значения катетов:
b = 12.5 или b = 8.75.

Если b = 12.5, то a = 4.5.
Если b = 8.75, то a = 8.25.

Итак, катеты треугольника равны 4.5см и 12.5см, либо 8.25см и 8.75см.