Из точки окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды, длины которых относятся как 5:12. Радиус окр-ти равен 26. Найдите длину большей хорды.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте обозначим длины хорд как 5x и 12x соответственно.

Так как хорды перпендикулярные, то их центры должны лежать на радиусе, проходящем через точку их пересечения.

Обозначим половину длины хорды 5x как a, а половину длины хорды 12x как b.

Тогда по теореме Пифагора для первой хорды:

a^2 + r^2 = (5x)^2
a^2 + 26^2 = 25x^2.

Аналогично для второй хорды:

b^2 + r^2 = (12x)^2
b^2 + 26^2 = 144x^2.

Теперь, выразим a^2 и b^2 и подставим в уравнения:

a^2 = 25x^2 - 26^2
b^2 = 144x^2 - 26^2.

a^2 - b^2 = 25x^2 - 26^2 - 144x^2 + 26^2
a^2 - b^2 = -119x^2.

Отсюда:

(a - b)(a + b) = -119x^2.

Поскольку a и b это половины длин хорд, a + b равно половине длины большей хорды:

5x + 12x = 17x.

Тогда:

(17x - b)(17x + b) = -119x^2
289x^2 - b^2 = -119x^2
b^2 = 408x^2.

Таким образом, длина большей хорды равна 2b, то есть 2√408x.

Теперь найдем значение x:

25x^2 = 26^2
x^2 = 676/25
x = 26/5.

Подставляем x обратно в длину большей хорды:

2√408 26/5 = 2√(4102) 26/5 = 2√(4425.5) = 4√25.5 = 45√1.5 = 20√1.5.

Таким образом, длина большей хорды равна 20√1.5.