Диагонали АС и ВД четырёхугольника АВСД пересекаются в точке О,АО=18см,ВО=15см,СО=12см,ОД=10см. Док-ть: АБСД-параллелограмм.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала докажем, что (ABCD) - параллелограмм.

Из условия задачи известно, что диагонали пересекаются в точке (О). Поскольку диагонали четырехугольника пересекаются в точке, то они делятся пополам. Следовательно, (AO = OC) и (BO = OD).

Также из условия задачи известно, что (AO = 18 \text{см}), (BO = 15 \text{см}), (CO = 12 \text{см}), (OD = 10 \text{см}).

Из равенства (AO = OC), (BO = OD) следует, что треугольники (AOB) и (COD) равны по сторонам и углам (по стороне-уголу-стороне).

Это значит, что

\angle AOB = \angle COD \quad (1
]

\angle OAB = \angle ODC \quad (2
]

\angle OBA = \angle OCD \quad (3
]

Также треугольники равны, что также означает, что

AB = CD \quad (4
]

AD = BC \quad (5
]

Теперь для доказательства того, что четырёхугольник является параллелограммом, необходимо доказать, что противоположные стороны параллельны и равны.

Из уравнений ((1)), ((4)) следует, что углы (\angle AOB) и (\angle COD) равны, а значит, (AB | CD) (по определению параллельности прямых).

Из уравнений ((2)), ((5)) следует, что углы (\angle OAB) и (\angle ODC) равны, а значит, (AD | BC).

Таким образом, каждая сторона четырёхугольника параллельна и равна противоположной стороне, что доказывает, что четырёхугольник (ABCD) является параллелограммом.